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第 167 章 方程根的个数之探秘

数日匆匆而过,学府内的书香依旧弥漫。戴浩文再次踏上那熟悉的讲台,新的知识篇章即将在学子们的期待中缓缓展开。

“诸位学子,前番我们在数列的世界中探寻智慧,今时今日,吾将引领尔等步入方程根的个数这一神秘领域。”戴浩文声音朗朗,目光扫过一众学子。

众学子正襟危坐,眼神中满是对新知识的渴求和好奇。

戴浩文轻挥衣袖,于黑板之上写下一道方程:“x2 - 5x + 6 = 0。”

“吾等先观此简单之例,求解方程之根,诸位当如何为之?”戴浩文问道。

有学子起身答道:“先生,可用因式分解之法,化为 (x - 2)(x - 3) = 0,得根为 2 与 3。”

戴浩文微微颔首:“善。然今所论者,非仅求其根,而在探究此类方程根之个数。”

他继而说道:“若方程为二次方程 ax2 + bx + c = 0,其判别式 Δ = b2 - 4ac 便为关键。当 Δ > 0 时,方程有两个不同之实根;当 Δ = 0 时,方程有两个相同之实根;当 Δ < 0 时,方程无实根。”

众学子听闻,纷纷低头记录。

戴浩文又举例道:“如方程 x2 + 2x + 1 = 0,其中 a = 1,b = 2,c = 1,Δ = 22 - 4x1x1 = 0,故而此方程有两个相同实根,即为 -1。”

为使学子们更明其理,戴浩文令学子们各自出题,相互求解判别式并判断根的个数。一时间,课堂内讨论之声四起,学子们或蹙眉思索,或欣然交流。

待众人稍有领悟,戴浩文话锋一转:“二次方程之理,诸位已略知一二。然方程之形多样,诸如三次方程、四次方程,乃至更高次方程,又当如何探究其根之个数?”

众学子面面相觑,皆感困惑。

戴浩文微笑道:“莫急。吾先以三次方程为例。”他在黑板上写下方程:“x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0。”

“求解此类方程,需综合运用因式分解、试根等法。吾先试 x = 1,代入方程,发现等式成立,故 x - 1 为其一个因式。”戴浩文边说边演示。

经过一番推演,方程化为 (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0,“由此可知,此方程有三个实根,分别为 1,2,3。”

“至于更高次方程,其解法更为复杂,常需借助函数之图像,以观其走势,判断根之个数。”戴浩文继续讲解。

他画出函数 y = x3 - 6x2 + 11x - 6 的图像,“观此图像与 x 轴之交点,便知方程根之个数。”

学子们盯着图像,似有所悟。

戴浩文又道:“亦有一类方程,难以直接求解,如超越方程。例如,e^x - 2x - 1 = 0。”

他解释道:“此类方程,吾等可通过函数单调性、极值等性质来推断根之个数。先求其导数,判断函数增减区间,再观其极值。”

戴浩文详细地推导着,学子们跟随着他的思路,努力理解着其中的奥妙。

时光悄然流逝,已至正午,阳光透过窗棂洒入教室,但学子们浑然未觉,沉浸于知识的海洋。

“今日所学,颇为深奥,诸位需在课后多加琢磨。”戴浩文说道。

下午课程伊始,戴浩文继续深入探讨方程根的个数问题。

他在黑板上写下一道含参数的方程:“x2 + mx + 1 = 0。”

“若此方程有实数根,求参数 m 之取值范围。”戴浩文抛出问题。

学子们纷纷动笔演算。戴浩文则在台下巡视,观察学子们的解题思路。

少顷,戴浩文走上讲台,开始讲解:“由判别式 Δ = m2 - 4,若方程有实根,则 Δ ≥ 0,即 m2 - 4 ≥ 0,解得 m ≥ 2 或 m ≤ -2。”

接着,他又给出几道类似的含参数方程,让学子们巩固所学。

“再看这道方程,”戴浩文又写下:“x3 - 3x + k = 0,已知其有且仅有一个实根,求 k 的取值范围。”

学子们再次陷入沉思。戴浩文提示道:“可先求导,分析函数单调性。”

经过一番思考和讨论,学子们逐渐找到了解题的关键。

戴浩文见众人有所领悟,心中甚喜,又道:“方程根之个数问题,亦与函数之零点定理相关。若函数 f(x) 在区间 (a, b) 内连续,且 f(a) 与 f(b) 异号,则在区间 (a, b) 内至少存在一个零点,即方程 f(x) = 0 在区间 (a, b) 内至少有一个实根。”

为让学子们更好地理解,戴浩文举例画图,详细阐述。

随后,戴浩文又列举了一些实际应用中的方程根的个数问题,如物体运动轨迹方程、桥梁受力方程等,让学子们明白方程根的个数问题在生活中的重要性。

课程接近尾声,戴浩文总结道:“方程根之个数,乃数学之重要内容,其理深邃,应用广泛。望诸君勤加研习,日后必能有所用。”

学子们虽感疲惫,但收获满满,眼中满是对未来学习的期待。

次日,戴浩文再次走进教室,开始检验学子们对昨日所学的掌握情况。

他在黑板上写下几道难题,让学子们上台解答。学子们有的思路清晰,顺利解题;有的则略显紧张,出现失误。戴浩文均一一耐心指导,纠正错误。

之后,戴浩文又针对学子们的薄弱环节进行了重点复习和强化训练。

“数学之途,永无止境。方程根之个数,仅是冰山一角。”戴浩文鼓励学子们,“只要汝等有恒心、有毅力,定能在数学之海洋中畅游无阻。”

在接下来的日子里,戴浩文不断变换教学方法,通过实例分析、小组讨论、专题研究等方式,加深学子们对方程根的个数的理解和应用能力。

学府内,学子们时常聚在一起,探讨方程之奥秘,学术氛围愈发浓厚。

一次考核中,学子们在方程根的个数相关题目上表现出色,戴浩文深感欣慰。然而,他深知教学之路漫长,仍需不断探索创新,引领学子们走向更高深的数学殿堂。

春去秋来,学府内的学子们在戴浩文的教导下,在数学的道路上稳步前行,不断追求着真理与智慧。

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