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第 192 章 认识异面直线

这一日,戴浩文再次登上学府的讲堂,准备向学子们传授新的数学知识——异面直线。

戴浩文目光炯炯,扫视着台下的学子们,然后缓缓开口道:“诸位学子,今日我们要探讨的是异面直线这一重要概念。”

学子们个个聚精会神,期待着戴浩文的讲解。

戴浩文拿起一支粉笔,在黑板上画出了两条直线,说道:“不同在任何一个平面内的两条直线,我们称之为异面直线。”

看到有些学子脸上露出困惑的神情,戴浩文进一步解释道:“异面直线的定义中,‘不同在任何一个平面内’是指这两条直线不能确定一个平面。也就是说,找不到一个能同时包含这两条直线的平面。”

为了加深学子们的理解,他举例道:“你们看这两条直线,它们既不平行,也不相交,就是异面直线。”

学子们纷纷点头,似乎有了一些初步的认识。

戴浩文接着说:“判断两条直线是否为异面直线,常用的方法有定义法、排除法和模型法。首先来说定义法,就是直接根据异面直线的定义来判断。”

他在黑板上写下:把“不同在任何一个平面内,没有公共点的两直线”叫做异面直线。

“在一些单选题和填空题里考查异面直线定义的题型中,就常用到定义法。不过这种方法操作起来相对不太方便,所以我们更多时候会用排除法。”

戴浩文又画出了一个空间图形,继续讲解:“空间中任意两条直线的位置关系可以分为三类:两直线相交、两直线平行、两直线异面。那么,找与一条直线异面的直线时,就可以用排除法,排除掉所有与已知直线相交和平行的直线,剩下的直线就是与已知直线异面的异面直线了。”

他给出了一道小题让学子们现场练习:在一个正方体中,直线 a 是其中一条棱,找出与 a 异面的直线。

学子们纷纷思考,开始动手画图分析。

过了一会儿,戴浩文请一位学子回答,这位学子准确地找出了与直线 a 异面的几条棱。

戴浩文微笑着表示肯定,接着说道:“还有一种方法是模型法。教材中异面直线有两种画法,其实就是判断(和寻找)异面直线的两个模型。”

他在黑板上画出了这两个模型:“第一种模型可以简述为‘一条直线穿过另一条直线所在的平面,并且与这两条直线间没有共共点’;第二种模型是‘分别处在两条相交平面内的两条直线,都与这两条平面的交线相交,并且交点不同’。只要满足这两种模型结构的两条直线,它们的位置关系就是异面直线。”

学子们听得津津有味,戴浩文又补充道:“此外,我再给大家介绍两种构造异面直线的方法。一种是交线构造法,任意两条相交的直线,平行移动其中任何一条直线,使它们不含交点时,这两条直线就可由相交直线变为异面直线。另一种是平行线构造法,任意两条平行线,把其中任何一条直线旋转一个角度后使它们不再平行,那么这两条直线也可由平行直线变为异面直线。”

为了检验学子们的掌握情况,戴浩文又出了一道更复杂的题目:在一个复杂的几何体中,判断某些直线是否为异面直线,并说明理由。

学子们陷入了沉思,有的开始小声讨论,有的则在纸上比划着。

戴浩文在教室里巡视着,观察学子们的思考过程,不时给予一些提示和指导。

一段时间后,戴浩文请几位学子上台展示他们的解题思路。

第一位学子有些紧张地走上讲台,他根据所学的方法,逐步分析出了几条直线的位置关系,但在表述上还不够清晰。

戴浩文鼓励他说:“你的思路是正确的,只是在表达上可以再简洁明了一些。”

接着第二位学子上台,他的讲解更加清晰流畅,得到了大家的认可。

戴浩文点头说道:“非常好!通过这道题,大家应该对异面直线的判断和构造方法有了更深入的理解。”

然后,他又强调道:“同学们,异面直线是立体几何中的重要概念,它对于我们理解空间中直线的位置关系非常关键。大家课后要多做一些练习题,加深对这些方法的运用和理解。”

学子们纷纷点头,表示会认真练习。

戴浩文接着说:“除了判断异面直线,我们还要了解异面直线所成的角。直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 o,分别引直线 a'\/\/a,b'\/\/b,直线 a'和 b'所成的锐角(或直角)就叫做异面直线 a 和 b 所成的角。”

“需要注意的是,两条异面直线所成角的大小,只由 a、b 的相互位置来确定,与点 o 的选择无关。这可以用等角定理来证明。”

为了让学子们更好地理解,戴浩文又通过一些具体的例子,演示了如何找到异面直线所成的角。

临近下课,戴浩文总结道:“今天我们学习了异面直线的概念、判断方法、构造方法以及异面直线所成的角。这些知识对于你们进一步学习立体几何非常重要。希望大家课后能够认真复习,巩固所学内容。如果还有疑问,随时可以来问我。”

学子们齐声回应道:“多谢先生教诲!”

课后,学子们三五成群地围在一起,继续讨论着异面直线的相关问题,他们对这一新的数学知识充满了好奇和探索的热情。

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